AcWing 2.01背包问题如何通过长尾词优化求解策略？
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题目：有N件物品，每件物品的体积是vi，价值是wi。求将哪些物品装入容量为V的背包，使得这些物品的总价值最大，且体积不超过背包容量。每件物品只能使用一次。
题目
有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。
第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。
输入格式 第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。
输出格式 输出一个整数，表示最大价值。
数据范围 $0<N,V≤1000$ $0<v_i,w_i≤1000$ 输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8
思路
状态表示：从前i个物品取且体积不超过j的价值的最大值 状态属性：最大值 状态计算：
对于第i个物品，存在两个选择，取或者不取
不取：f[i][j] = f[i- 1][j]
取：f[i][j] = f[i - 1][j - v] + w
通过以上思路两重循环遍历物品与体积，得到朴素算法。
接下来可以将数组优化成一维，部分代码如下
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
cin >> v >> w;
for (int j = 0; j <= m; j ++ ) --> 1. for (int j = m; j >= v; j -- )
{
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]); --> 2. f[j] = max(f[j], f[j])
if (j >= v)
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v] + w); --> 3. f[j] = max(f[j], f[j - v] + w)
}
}
关键的一点，为什么逆序遍历可以优化到一维？
j - v < j 当我们优化到一维且正序遍历体积时，f[j - v] 优先被计算，后续再更新到 f[j] 时，此时的f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v] + w)，与预期的公式不符，而逆序遍历体积恰好能解决这个问题，使得计算 f[j] 时，f[j - v] 仍是 f[i - 1][j - v]。
代码
1. 朴素算法
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v, w;
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
f[0][0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
cin >> v >> w;
for (int j = 0; j <= m; j ++ )
{
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);
if (j >= v)
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v] + w);
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
2. 优化成一维
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v, w;
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
cin >> v >> w;
for (int j = m; j >= v; j -- )
f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
本文共计861个文字，预计阅读时间需要4分钟。
题目：有N件物品，每件物品的体积是vi，价值是wi。求将哪些物品装入容量为V的背包，使得这些物品的总价值最大，且体积不超过背包容量。每件物品只能使用一次。
题目
有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。
第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。
输入格式 第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。
输出格式 输出一个整数，表示最大价值。
数据范围 $0<N,V≤1000$ $0<v_i,w_i≤1000$ 输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8
思路
状态表示：从前i个物品取且体积不超过j的价值的最大值 状态属性：最大值 状态计算：
对于第i个物品，存在两个选择，取或者不取
不取：f[i][j] = f[i- 1][j]
取：f[i][j] = f[i - 1][j - v] + w
通过以上思路两重循环遍历物品与体积，得到朴素算法。
接下来可以将数组优化成一维，部分代码如下
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
cin >> v >> w;
for (int j = 0; j <= m; j ++ ) --> 1. for (int j = m; j >= v; j -- )
{
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]); --> 2. f[j] = max(f[j], f[j])
if (j >= v)
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v] + w); --> 3. f[j] = max(f[j], f[j - v] + w)
}
}
关键的一点，为什么逆序遍历可以优化到一维？
j - v < j 当我们优化到一维且正序遍历体积时，f[j - v] 优先被计算，后续再更新到 f[j] 时，此时的f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v] + w)，与预期的公式不符，而逆序遍历体积恰好能解决这个问题，使得计算 f[j] 时，f[j - v] 仍是 f[i - 1][j - v]。
代码
1. 朴素算法
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v, w;
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
f[0][0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
cin >> v >> w;
for (int j = 0; j <= m; j ++ )
{
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);
if (j >= v)
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v] + w);
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
2. 优化成一维
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v, w;
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
cin >> v >> w;
for (int j = m; j >= v; j -- )
f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}