如何深入理解并实现哈夫曼树在数据压缩中的应用原理？
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本文共计4110个文字，预计阅读时间需要17分钟。
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1.前言
2.设计思路
3.构建思路
4.编码实现
4.1 使用优先队列 4.2 使用一维数组5.总结
1.前言
什么是哈伯曼树？如何使用不同权值的n个节点构成一棵满足以下条件的二叉树？目录
- 1. 前言
- 2. 设计思路
- 3. 构建思路
- 4. 编码实现
- 4.1 使用优先队列
- 4.2 使用一维数组
- 5. 总结
1. 前言
什么是哈夫曼树？
把权值不同的n个结点构造成一棵二叉树，如果此树满足以下几个条件：
- 此n个结点为二叉树的叶结点。
- 权值较大的结点离根结点较近，权值较小的结点离根结点较远。
- 该树的带权路径长度是所有可能构建的二叉树中最小的。
则称符合上述条件的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。
构建哈夫曼树的目的是什么？
用来解决在通信系统中如何使用最少的二进制位编码字符信息。
本文将和大家聊聊哈夫曼树的设计思想以及构建过程。
2. 设计思路
哈夫曼树产生的背景：
在通信系统中传递一串字符串文本时，需要对这一串字符串文本信息进行二进制编码。编码时如何保证所用到的bit位是最少的，或保证整个编码后的传输长度最短。
现假设字符串由ABCD 4个字符组成，最直接的想法是使用2个bit位进行等长编码，如下表格所示：
传输ABCD字符串一次时，所需bit为2位，当通信次数达到n次时，则需要的总传输长度为n*2。当字符串的传输次数为1000次时，所需要传输的总长度为2000个bit。
使用等长编码时，如果传输的报文中有26个不同字符时，因需要对每一个字符进行编码，至少需要5位bit。
但在实际应用中，各个字符的出现频率或使用次数是不相同的，如A、B、C的使用频率远远高于X、Y、Z。使用等长编码特点是无论字符出现的频率差异有多大，每一个字符都得使用相同的bit位。
哈夫曼的设计思想：
- 对字符串信息进行编码设计时，让使用频率高的字符使用
短码，使用频率低的用长码，以优化整个信息编码的长度。 - 基于这种简单、朴素的想法设计出来的编码也称为
不等长编码。
哈夫曼不等长编码的具体思路如下：
如现在要发送仅由A、B、C、D 4个字符组成的报文信息 ，A字符在信息中占比为50%，B的占比是20%，C的占比是15%，D的 占比是10%。
不等长编码的朴实思想是字符的占比越大，所用的bit位就少，占比越小，所用bit位越多。如下为每一个字符使用的bit位数：
A使用1位bit编码。B使用2位bit编码。C使用3位bit编码。D使用3位bit编码。
具体编码如下表格所示：
如此编码后，是否真的比前面的等长编码所使用的总bit位要少？
计算结果=0.5*1+0.2*2+0.15*3+0.1*3=1.65。
先计算每一个字符在报文信息中的占比乘以字符所使用的bit位。
然后对上述每一个字符计算后的结果进行相加。
显然，编码ABCD只需要1.65个bit，比等长编码用到的2 个 bit位要少 。当传输信息量为1000时，总共所需要的bit位=1.65*1000=1650 bit。
哈夫曼编码和哈夫曼树有什么关系？
因为字符的编码是通过构建一棵自下向上的二叉树推导出来的，如下图所示：
哈夫曼树的特点：
- 信息结点都是叶子结点。
- 叶子结点具有权值。如上二叉树，
A结点权值为0.5，B结点权值为0.2，C结点权值为0.15，D结点权值为0.1。 - 哈夫曼编码为不等长前缀编码（即要求一个字符的编码不能是另一个字符编码的前缀）。
- 从根结点开始，为左右分支分别编号
0和1，然后顺序连接从根结点到叶结点所有分支上的编号得到字符的编码。
相信大家对哈夫曼树有了一个大概了解，至于如何通过构建哈夫曼树，咱们继续再聊。
3. 构建思路
在构建哈夫曼树之前，先了解几个相关概念：
- 路径和路径长度：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为
1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。 - 结点的权及带权路径长度：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
- 树的带权路径长度：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为
WPL。
如有权值为{3,4,9,15}的4个结点，则可构造出不同的二叉树，其带权路径长度也会不同。如下3种二叉树中，B的树带权路径长度是最小的。
哈夫曼树的构建过程就是要保证树的带权路径长度最小。
那么，如何构建二叉树，才能保证构建出来的二叉树的带权路径长度最小？
如有一字符串信息由ABCDEFGH 8个字符组成，每一个字符的权值分别为{3,6,12,9,4,8,21,22}，构建最优哈夫曼树的流程：
1.以每一个结点为根结点构建一个单根二叉树，二叉树的左右子结点为空，根结点的权值为每个结点的权值。并存储到一个树集合中。
2.从树集合中选择根结点的权值最小的2个树。重新构建一棵新二叉树，让刚选择出来的2棵树的根结点成为这棵新树的左右子结点，新树的根结点的权值为2个左右子结点权值的和。构建完成后从树集合中删除原来2个结点，并把新二叉树放入树集合中。
如下图所示。权值为3和4的结点为新二叉树的左右子结点，新树根结点的权值为7。
3.重复第二步，直到树集合中只有一个根结点为止。
当集合中只存在一个根结点时，停止构建，并且为最后生成树的每一个非叶子结点的左结点分支标注0，右结点分支标注1。如下图所示：
通过上述从下向上的思想构建出来的二叉树，可以保证权值较小的结点离根结点较远，权值较大的结点离根结点较近。最终二叉树的带权路径长度：WPL=(3+4)*5+6*4+(8+9+12)*3+(21+22)*2=232。并且此树的带权路径长度是所有可能构建出来的二叉树中最小的。
上述的构建思想即为哈夫曼树设计思想，不同权值的字符编码就是结点路径上0和1的顺序组合。如下表所述，权值越大，其编码越小，权值越小，其编码越大。其编码长度即从根结点到此叶结点的路径长度。
4. 编码实现
4.1 使用优先队列
可以把权值不同的结点分别存储在优先队列（Priority Queue）中，并且给与权重较低的结点较高的优先级（Priority）。
具体实现哈夫曼树算法如下：
1.把n个结点存储到优先队列中，则n个节点都有一个优先权Pi。这里是权值越小，优先权越高。
2.如果队列内的节点数>1，则：
- 从队列中移除两个最小的结点。
- 产生一个新节点，此节点为队列中移除节点的父节点，且此节点的权重值为两节点之权值之和，把新结点加入队列中。
- 重复上述过程，最后留在优先队列里的结点为哈夫曼树的根节点（
root）。
完整代码：
#include <iostream> #include <queue> #include <vector> using namespace std; //树结点 struct TreeNode { //结点权值 float weight; //左结点 TreeNode *lelfChild; //右结点 TreeNode *rightChild; //初始化 TreeNode(float w) { weight=w; lelfChild=NULL; rightChild=NULL; } }; //为优先队列提供比较函数 struct comp { bool operator() (TreeNode * a, TreeNode * b) { //由大到小排列 return a->weight > b->weight; } }; //哈夫曼树类 class HfmTree { private: //优先队列容器 priority_queue<TreeNode *,vector<TreeNode *>,comp> hfmQueue; public: //构造函数，构建单根结点树 HfmTree(int weights[8]) { for(int i=0; i<8; i++) { //创建不同权值的单根树 TreeNode *tn=new TreeNode(weights[i]); hfmQueue.push(tn); } } //显示队列中的最一个结点 TreeNode* showHfmRoot() { TreeNode *tn; while(!hfmQueue.empty()) { tn= hfmQueue.top(); hfmQueue.pop(); } return tn; } //构建哈夫曼树 void create() { //重复直到队列中只有一个结点 while(hfmQueue.size()!=1) { //从优先队列中找到权值最小的 2 个单根树 TreeNode *minFirst=hfmQueue.top(); hfmQueue.pop(); TreeNode *minSecond=hfmQueue.top(); hfmQueue.pop(); //创建新的二叉树 TreeNode *newRoot=new TreeNode(minFirst->weight+minSecond->weight); newRoot->lelfChild=minFirst; newRoot->rightChild=minSecond; //新二叉树放入队列中 hfmQueue.push(newRoot); } } //按前序遍历哈夫曼树的所有结点 void showHfmTree(TreeNode *root) { if(root!=NULL) { cout<<root->weight<<endl; showHfmTree(root->lelfChild); showHfmTree(root->rightChild); } } //析构函数 ~HfmTree() { //省略 } }; //测试 int main(int argc, char** argv) { //不同权值的结点 int weights[8]= {3,6,12,9,4,8,21,22}; //调用构造函数 HfmTree hfmTree(weights); //创建哈夫曼树 hfmTree.create(); //前序方式显示哈夫曼树 TreeNode *root= hfmTree.showHfmRoot(); hfmTree.showHfmTree(root); return 0; }
显示结果：
上述输出结果，和前文的演示结果是一样的。
此算法的时间复杂度为O（nlogn）。因为有n个结点，所以树总共有2n-1个节点，使用优先队列每个循环须O（log n）。
4.2 使用一维数组
除了上文的使用优先队列之外，还可以使用一维数组的存储方式实现。
在哈夫曼树中，叶子结点有n个，非叶子结点有n-1个，使用数组保存哈夫曼树上所的结点需要2n-1个存储空间 。其算法思路和前文使用队列的思路差不多。直接上代码：
#include <iostream> using namespace std; //叶结点数量 const unsigned int n=8; //一维数组长度 const unsigned int m= 2*n -1; //树结点 struct TreeNode { //权值 float weight; //父结点 int parent; //左结点 int leftChild; //右结点 int rightChild; }; class HuffmanTree { public: //创建一维数组 TreeNode hfmNodes[m+1]; public: //构造函数 HuffmanTree(int weights[8]); ~HuffmanTree( ) { } void findMinNode(int k, int &s1, int &s2); void showInfo() { for(int i=0; i<m; i++) { cout<<hfmNodes[i].weight<<endl; } } }; HuffmanTree::HuffmanTree(int weights[8]) { //前2 个权值最小的结点 int firstMin; int secondMin; //初始化数组中的结点 for(int i = 1; i <= m; i++) { hfmNodes[i].weight = 0; hfmNodes[i].parent = -1; hfmNodes[i].leftChild = -1; hfmNodes[i].rightChild = -1; } //前 n 个是叶结点 for(int i = 1; i <= n; i++) hfmNodes[i].weight=weights[i-1]; for(int i = n + 1; i <=m; i++) { this->findMinNode(i-1, firstMin, secondMin); hfmNodes[firstMin].parent = i; hfmNodes[secondMin].parent = i; hfmNodes[i].leftChild = firstMin; hfmNodes[i].rightChild = secondMin; hfmNodes[i].weight = hfmNodes[firstMin].weight + hfmNodes[secondMin].weight; } } void HuffmanTree::findMinNode(int k, int & firstMin, int & secondMin) { hfmNodes[0].weight = 32767; firstMin=secondMin=0; for(int i=1; i<=k; i++) { if(hfmNodes[i].weight!=0 && hfmNodes[i].parent==-1) { if(hfmNodes[i].weight < hfmNodes[firstMin].weight) { //如果有比第一小还要小的，则原来的第一小变成第二小 secondMin = firstMin; //新的第一小 firstMin = i; } else if(hfmNodes[i].weight < hfmNodes[secondMin].weight) //如果仅比第二小的小 secondMin = i; } } } int main() { int weights[8]= {3,6,12,9,4,8,21,22}; HuffmanTree huffmanTree(weights); huffmanTree.showInfo(); return 1; }
测试结果：
5. 总结
哈夫曼树是二叉树的应用之一，掌握哈夫曼树的建立和编码方法对解决实际问题有很大帮助。
以上就是漫谈C++哈夫曼树的原理及实现的详细内容，更多关于C++哈夫曼树的资料请关注自由互联其它相关文章！
本文共计4110个文字，预计阅读时间需要17分钟。
目录
1.前言
2.设计思路
3.构建思路
4.编码实现
4.1 使用优先队列 4.2 使用一维数组5.总结
1.前言
什么是哈伯曼树？如何使用不同权值的n个节点构成一棵满足以下条件的二叉树？目录
- 1. 前言
- 2. 设计思路
- 3. 构建思路
- 4. 编码实现
- 4.1 使用优先队列
- 4.2 使用一维数组
- 5. 总结
1. 前言
什么是哈夫曼树？
把权值不同的n个结点构造成一棵二叉树，如果此树满足以下几个条件：
- 此n个结点为二叉树的叶结点。
- 权值较大的结点离根结点较近，权值较小的结点离根结点较远。
- 该树的带权路径长度是所有可能构建的二叉树中最小的。
则称符合上述条件的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。
构建哈夫曼树的目的是什么？
用来解决在通信系统中如何使用最少的二进制位编码字符信息。
本文将和大家聊聊哈夫曼树的设计思想以及构建过程。
2. 设计思路
哈夫曼树产生的背景：
在通信系统中传递一串字符串文本时，需要对这一串字符串文本信息进行二进制编码。编码时如何保证所用到的bit位是最少的，或保证整个编码后的传输长度最短。
现假设字符串由ABCD 4个字符组成，最直接的想法是使用2个bit位进行等长编码，如下表格所示：
传输ABCD字符串一次时，所需bit为2位，当通信次数达到n次时，则需要的总传输长度为n*2。当字符串的传输次数为1000次时，所需要传输的总长度为2000个bit。
使用等长编码时，如果传输的报文中有26个不同字符时，因需要对每一个字符进行编码，至少需要5位bit。
但在实际应用中，各个字符的出现频率或使用次数是不相同的，如A、B、C的使用频率远远高于X、Y、Z。使用等长编码特点是无论字符出现的频率差异有多大，每一个字符都得使用相同的bit位。
哈夫曼的设计思想：
- 对字符串信息进行编码设计时，让使用频率高的字符使用
短码，使用频率低的用长码，以优化整个信息编码的长度。 - 基于这种简单、朴素的想法设计出来的编码也称为
不等长编码。
哈夫曼不等长编码的具体思路如下：
如现在要发送仅由A、B、C、D 4个字符组成的报文信息 ，A字符在信息中占比为50%，B的占比是20%，C的占比是15%，D的 占比是10%。
不等长编码的朴实思想是字符的占比越大，所用的bit位就少，占比越小，所用bit位越多。如下为每一个字符使用的bit位数：
A使用1位bit编码。B使用2位bit编码。C使用3位bit编码。D使用3位bit编码。
具体编码如下表格所示：
如此编码后，是否真的比前面的等长编码所使用的总bit位要少？
计算结果=0.5*1+0.2*2+0.15*3+0.1*3=1.65。
先计算每一个字符在报文信息中的占比乘以字符所使用的bit位。
然后对上述每一个字符计算后的结果进行相加。
显然，编码ABCD只需要1.65个bit，比等长编码用到的2 个 bit位要少 。当传输信息量为1000时，总共所需要的bit位=1.65*1000=1650 bit。
哈夫曼编码和哈夫曼树有什么关系？
因为字符的编码是通过构建一棵自下向上的二叉树推导出来的，如下图所示：
哈夫曼树的特点：
- 信息结点都是叶子结点。
- 叶子结点具有权值。如上二叉树，
A结点权值为0.5，B结点权值为0.2，C结点权值为0.15，D结点权值为0.1。 - 哈夫曼编码为不等长前缀编码（即要求一个字符的编码不能是另一个字符编码的前缀）。
- 从根结点开始，为左右分支分别编号
0和1，然后顺序连接从根结点到叶结点所有分支上的编号得到字符的编码。
相信大家对哈夫曼树有了一个大概了解，至于如何通过构建哈夫曼树，咱们继续再聊。
3. 构建思路
在构建哈夫曼树之前，先了解几个相关概念：
- 路径和路径长度：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为
1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。 - 结点的权及带权路径长度：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
- 树的带权路径长度：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为
WPL。
如有权值为{3,4,9,15}的4个结点，则可构造出不同的二叉树，其带权路径长度也会不同。如下3种二叉树中，B的树带权路径长度是最小的。
哈夫曼树的构建过程就是要保证树的带权路径长度最小。
那么，如何构建二叉树，才能保证构建出来的二叉树的带权路径长度最小？
如有一字符串信息由ABCDEFGH 8个字符组成，每一个字符的权值分别为{3,6,12,9,4,8,21,22}，构建最优哈夫曼树的流程：
1.以每一个结点为根结点构建一个单根二叉树，二叉树的左右子结点为空，根结点的权值为每个结点的权值。并存储到一个树集合中。
2.从树集合中选择根结点的权值最小的2个树。重新构建一棵新二叉树，让刚选择出来的2棵树的根结点成为这棵新树的左右子结点，新树的根结点的权值为2个左右子结点权值的和。构建完成后从树集合中删除原来2个结点，并把新二叉树放入树集合中。
如下图所示。权值为3和4的结点为新二叉树的左右子结点，新树根结点的权值为7。
3.重复第二步，直到树集合中只有一个根结点为止。
当集合中只存在一个根结点时，停止构建，并且为最后生成树的每一个非叶子结点的左结点分支标注0，右结点分支标注1。如下图所示：
通过上述从下向上的思想构建出来的二叉树，可以保证权值较小的结点离根结点较远，权值较大的结点离根结点较近。最终二叉树的带权路径长度：WPL=(3+4)*5+6*4+(8+9+12)*3+(21+22)*2=232。并且此树的带权路径长度是所有可能构建出来的二叉树中最小的。
上述的构建思想即为哈夫曼树设计思想，不同权值的字符编码就是结点路径上0和1的顺序组合。如下表所述，权值越大，其编码越小，权值越小，其编码越大。其编码长度即从根结点到此叶结点的路径长度。
4. 编码实现
4.1 使用优先队列
可以把权值不同的结点分别存储在优先队列（Priority Queue）中，并且给与权重较低的结点较高的优先级（Priority）。
具体实现哈夫曼树算法如下：
1.把n个结点存储到优先队列中，则n个节点都有一个优先权Pi。这里是权值越小，优先权越高。
2.如果队列内的节点数>1，则：
- 从队列中移除两个最小的结点。
- 产生一个新节点，此节点为队列中移除节点的父节点，且此节点的权重值为两节点之权值之和，把新结点加入队列中。
- 重复上述过程，最后留在优先队列里的结点为哈夫曼树的根节点（
root）。
完整代码：
#include <iostream> #include <queue> #include <vector> using namespace std; //树结点 struct TreeNode { //结点权值 float weight; //左结点 TreeNode *lelfChild; //右结点 TreeNode *rightChild; //初始化 TreeNode(float w) { weight=w; lelfChild=NULL; rightChild=NULL; } }; //为优先队列提供比较函数 struct comp { bool operator() (TreeNode * a, TreeNode * b) { //由大到小排列 return a->weight > b->weight; } }; //哈夫曼树类 class HfmTree { private: //优先队列容器 priority_queue<TreeNode *,vector<TreeNode *>,comp> hfmQueue; public: //构造函数，构建单根结点树 HfmTree(int weights[8]) { for(int i=0; i<8; i++) { //创建不同权值的单根树 TreeNode *tn=new TreeNode(weights[i]); hfmQueue.push(tn); } } //显示队列中的最一个结点 TreeNode* showHfmRoot() { TreeNode *tn; while(!hfmQueue.empty()) { tn= hfmQueue.top(); hfmQueue.pop(); } return tn; } //构建哈夫曼树 void create() { //重复直到队列中只有一个结点 while(hfmQueue.size()!=1) { //从优先队列中找到权值最小的 2 个单根树 TreeNode *minFirst=hfmQueue.top(); hfmQueue.pop(); TreeNode *minSecond=hfmQueue.top(); hfmQueue.pop(); //创建新的二叉树 TreeNode *newRoot=new TreeNode(minFirst->weight+minSecond->weight); newRoot->lelfChild=minFirst; newRoot->rightChild=minSecond; //新二叉树放入队列中 hfmQueue.push(newRoot); } } //按前序遍历哈夫曼树的所有结点 void showHfmTree(TreeNode *root) { if(root!=NULL) { cout<<root->weight<<endl; showHfmTree(root->lelfChild); showHfmTree(root->rightChild); } } //析构函数 ~HfmTree() { //省略 } }; //测试 int main(int argc, char** argv) { //不同权值的结点 int weights[8]= {3,6,12,9,4,8,21,22}; //调用构造函数 HfmTree hfmTree(weights); //创建哈夫曼树 hfmTree.create(); //前序方式显示哈夫曼树 TreeNode *root= hfmTree.showHfmRoot(); hfmTree.showHfmTree(root); return 0; }
显示结果：
上述输出结果，和前文的演示结果是一样的。
此算法的时间复杂度为O（nlogn）。因为有n个结点，所以树总共有2n-1个节点，使用优先队列每个循环须O（log n）。
4.2 使用一维数组
除了上文的使用优先队列之外，还可以使用一维数组的存储方式实现。
在哈夫曼树中，叶子结点有n个，非叶子结点有n-1个，使用数组保存哈夫曼树上所的结点需要2n-1个存储空间 。其算法思路和前文使用队列的思路差不多。直接上代码：
#include <iostream> using namespace std; //叶结点数量 const unsigned int n=8; //一维数组长度 const unsigned int m= 2*n -1; //树结点 struct TreeNode { //权值 float weight; //父结点 int parent; //左结点 int leftChild; //右结点 int rightChild; }; class HuffmanTree { public: //创建一维数组 TreeNode hfmNodes[m+1]; public: //构造函数 HuffmanTree(int weights[8]); ~HuffmanTree( ) { } void findMinNode(int k, int &s1, int &s2); void showInfo() { for(int i=0; i<m; i++) { cout<<hfmNodes[i].weight<<endl; } } }; HuffmanTree::HuffmanTree(int weights[8]) { //前2 个权值最小的结点 int firstMin; int secondMin; //初始化数组中的结点 for(int i = 1; i <= m; i++) { hfmNodes[i].weight = 0; hfmNodes[i].parent = -1; hfmNodes[i].leftChild = -1; hfmNodes[i].rightChild = -1; } //前 n 个是叶结点 for(int i = 1; i <= n; i++) hfmNodes[i].weight=weights[i-1]; for(int i = n + 1; i <=m; i++) { this->findMinNode(i-1, firstMin, secondMin); hfmNodes[firstMin].parent = i; hfmNodes[secondMin].parent = i; hfmNodes[i].leftChild = firstMin; hfmNodes[i].rightChild = secondMin; hfmNodes[i].weight = hfmNodes[firstMin].weight + hfmNodes[secondMin].weight; } } void HuffmanTree::findMinNode(int k, int & firstMin, int & secondMin) { hfmNodes[0].weight = 32767; firstMin=secondMin=0; for(int i=1; i<=k; i++) { if(hfmNodes[i].weight!=0 && hfmNodes[i].parent==-1) { if(hfmNodes[i].weight < hfmNodes[firstMin].weight) { //如果有比第一小还要小的，则原来的第一小变成第二小 secondMin = firstMin; //新的第一小 firstMin = i; } else if(hfmNodes[i].weight < hfmNodes[secondMin].weight) //如果仅比第二小的小 secondMin = i; } } } int main() { int weights[8]= {3,6,12,9,4,8,21,22}; HuffmanTree huffmanTree(weights); huffmanTree.showInfo(); return 1; }
测试结果：
5. 总结
哈夫曼树是二叉树的应用之一，掌握哈夫曼树的建立和编码方法对解决实际问题有很大帮助。
以上就是漫谈C++哈夫曼树的原理及实现的详细内容，更多关于C++哈夫曼树的资料请关注自由互联其它相关文章！