人工智能在矩阵论中如何应用线性空间的基础知识？

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Hello，大家好，我是Dream，一个有趣的Python博主。小白一枚，多多关照！入门必备知识：这片乐园从不缺乏天才，努力才是你最终的入场券！最后，愿我们都能在看不到的地方闪闪发光！

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入门须知：这片乐园从不缺乏天才，努力才是你的最终入场券！

最后，愿我们都能在看不到的地方闪闪发光，一起加油进步

“一万次悲伤，依然会有Dream，我一直在最温暖的地方等你”，唱的就是我！哈哈哈~

第一章 线性空间

• ​​1.1线性代数知识回顾​​

• ​​一、向量​​

• ​​1、向量的实际意义​​
• ​​2、向量的线性运算​​
• ​​3、向量的内积​​
• ​​4、向量的长度​​

• ​​二、向量组​​

• ​​1、向量组的实际意义​​
• ​​2、向量的线性表示​​
• ​​3、向量组的线性相关​​
• ​​4、向量组的线性无关​​
• ​​5、向量组的极大无关组​​
• ​​6、向量组的秩​​

• ​​三、矩阵​​

• ​​1.矩阵的意义​​
• ​​2、特殊矩阵​​
• ​​3、 矩阵的运算​​
• ​​4、矩阵秩的计算​​

• ​​四、线性方程组​​

• ​​1.向量、矩阵与线性方程组的关系​​
• ​​2.线性方程组解的判定（利用矩阵的秩讨论）​​
• ​​3、 齐次线性方程组的解法​​
• ​​4、 线性方程组的应用​​

• ​​1.2 线性空间​​

• ​​一、数域​​
• ​​二、向量空间​​

• ​​向量空间的基和维数​​

• ​​三、线性空间​​
• ​​四、 线性空间的基与维数​​
• ​​五、线性子空间​​
• ​​六、子空间的交与和​​

1.1线性代数知识回顾

一、向量

1、向量的实际意义

确定飞机的状态，需要以下6个

参数：

飞机重心在空间的位置参数 P(x,y,z)

机身的水平转角:

a

机身的仰角:

b

机翼的转角;

c

所以，确定飞机的状态，需用6维向量

a = (x, y,z,a,b ,c )

确定西瓜是好瓜还是坏瓜？ 需要描述西瓜的特征

如下：

颜色：深绿、浅绿、浅白
根蒂：硬挺、稍卷
条纹：清晰、模糊
糖分：连续的值
西瓜：(深绿， 硬挺，清晰，1.2)

2、向量的线性运算

3、向量的内积

4、向量的长度

二、向量组

1、向量组的实际意义

利用如下特征描述一车西瓜的特点，确定一车西瓜哪些是好瓜，哪些是坏瓜？

一车西瓜有若干个向量表示，构成向量组。

2、向量的线性表示

3、向量组的线性相关

4、向量组的线性无关

一个零向量线性相关，而一个非零向量线性无关

5、向量组的极大无关组

定义：设向量组 A 与其一个部分向量组A0：a1, a2, …, ar，如果满足：

① 向量组A0：a1, a2, …, ar线性无关；

② 向量组 A中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示；

那么称向量组 A0是向量组A的一个极大线性无关组，简称极大无关组

6、向量组的秩

定义：向量组的极大无关组所含向量的个数，记作r(A)

三、矩阵

1.矩阵的意义

2、特殊矩阵

8.三角矩阵

3、 矩阵的运算

(1) 加、减

(2) 数乘

(3) 乘法

注意：

矩阵乘法不满足交换律；

矩阵乘法不满足消去律

两个非零矩阵的乘法可能是零矩阵

（4）逆矩阵的概念

4、矩阵秩的计算

定义：矩阵A 的最高阶非零子式的阶数， 称为矩阵，A 的秩，记作 r(A)．

r(A)=2

存在一个非零二阶子式

所有的三阶及以上子式都等于0

r(A)=r

存在一个非零r阶子式

所有的r+1阶及以上子式都等于0

规定：零矩阵的秩等于零．

求矩阵的秩的方法：

(1) 化行阶梯形矩阵；

(2) 行阶梯形矩阵中非零行的行数

n阶矩阵的秩为n时，称其为满秩矩阵，否则称其为降秩矩阵.

四、线性方程组

1.向量、矩阵与线性方程组的关系

向量组构成矩阵

用向量组的线性组合表示方程组

矩阵可以表示线性方程组

向量组的秩=矩阵的秩=有效方程的个数

2.线性方程组解的判定（利用矩阵的秩讨论）

3、 齐次线性方程组的解法

4、 线性方程组的应用

1.2 线性空间

一、数域

封闭：指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．

数域：数集关于四则运算是封闭的

二、向量空间

定义：设 V 是 一个向量组集合，如果

① 集合 V 非空，

② 集合 V 对于向量的加法和数乘两种运算封闭，具体地说，就是：

✓ 若 a ∈ V， b ∈ V，则 a + b ∈ V ．（对加法封闭）

✓ 若 a ∈ V， l ∈ R，则 l a ∈ V . （对数乘封闭）

那么就称集合 V 为向量空间．

齐次线性方程组的解集 S1 = { x | Ax = 0 }是向量空间

定义：齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间

向量空间的基和维数

基：向量组的一个极大无关组

维数：向量组的秩

三、线性空间

四、 线性空间的基与维数

五、线性子空间

定义：如果线性空间 V 的非空子集合 V1 对于 V 中所定义的

加法及乘数两种运算是封闭的，则称 V1 是 V 的子空间．

平凡子空间：零空间，V本身

例：

• 1.n 维向量的全体Rn (1) 集合 V1 = { (0, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R }
• 2. 集合 V2 = { (1, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 解：V1 是 Rn 的子空间， V2 不是 Rn
  的子空间

六、子空间的交与和

好啦，这就是今天要分享给大家的全部内容了

❤️❤️❤️如果你喜欢的话，就不要吝惜你的一键三连了~