【数学笔记】让我们困惑的“规定”→定义，定义，还是定义！
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[!tips]教学的弊病
在我们中小学，乃至大学刚开始学高等数学的时候。
经常回听到一个很困惑的词叫“规定”，比如“书上说了，规定如此”，老师对此的解释也是“记住就行，规定就这样。就是这么规定的……”
真是太不利于学习了！
这种旧时代的学习方法已经不适合这个时代了，以前为什么经常会这样回答呢？
因为前面时代的学习，名师是很少的，大部分老师都是普通水平（高的都去搞别的赚钱的或更高级的了……大部分的师范生水平都是中等人才，高端水平舍弃其他可能性做老师的是极少的个例）
由此对于很多问题的根源，连老师都不懂，也自能照本宣科，以“规定如此”来搪塞学生。
但是，我们这个时代，因为ai的出现，基本都自带名师！
再用“规定”搪塞学生的求知欲是很不负责的！
即使老师再偷懒，也可以说一句：感兴趣的同学可以自行ai寻求答案！
（当然不偷懒的做法，是自行找到答案，以通俗的方式解释给所有学生知道这个“规定”的由来。）
[!important]那么“规定”到底是些什么意思呢？
其实应该叫“定义”。
也就是数学上的定义，分类或说概念范畴。
就像我们定义了圆的红的甜的叫红苹果，定义了电脑用的字母数字输入设备叫键盘一样，就是定义：【把某一种/某一类东西称为xx】
数学上把某一类的数称为 自然数（ℕ）{1, 2, 3, …} 。
把另一类的数称为 整数（ℤ） ：{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}。
就是定义，也就是俗称的“规定”。
在往前的学习中，因前面所说的问题，老师总把定义和规定混淆使用。
而“规定如此”，更有种不近人情的强权感，我个人认为是把数学定义贬义化了的，导致很多同学在学习的时候甚至会产生逆反心理：你规定？那我不鸟你的规定……
继而导致了放弃数学，甚至是厌恶数学的情绪。（庸师误人子弟啊……）
[!abstract]那么定义的作用是什么呢？为什么数学上需要这么多的定义？
是为了划分，继而是需要“清晰”。
而我们学习各种数学的定义，就是为了清晰的区分出各种不同的抽象性质（乃至在具体的应用中也能找出其根本区别）。
红苹果和青苹果都属于苹果，但具体而言它们是有细微差别的。
而再细分还有黄苹果和深红近黑的苹果……
要划分，就需要良好的定义，不然就会导致混淆。
日常生活中很多东西模糊点没有太大的影响……
但数学是一门精确的学科，是我们所有科技乃至整个文明的基础。
所以数学尤其需要精确的定义和良好的定义……容不得模糊和混淆。
[!success]以数集为例，简单的直观定义如下：
| 数集 | 符号 | 包含关系 | 特点 |
|---|---|---|---|
| 自然数 | ℕ | 最小 | 1, 2, 3, …（或 0, 1, 2, …） |
| 整数 | ℤ | ℕ ⊂ ℤ | …, -2, -1, 0, 1, 2, … |
| 有理数 | ℚ | ℤ ⊂ ℚ | 分数、有限小数、循环小数 |
| 实数 | ℝ | ℚ ⊂ ℝ | 包含所有有理数 + 无理数（如 √2, π） |
| 超实数 | *ℝ | ℝ ⊂ *ℝ | 包含实数 + 无限大/无限小（非标准分析） |
| 复数 | ℂ | ℝ ⊂ ℂ | 实数 + 虚数（如 1 + i） |
（其中 ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ 是最核心的数集包含关系）
这些是最基础的，我们学习的数学基本都由此开始。
是最基础的抽象，而这种抽象映照回到现实，比如我们说人的时候，就会自然的用到自然数的定义。
自然数是1,2,3,4……
我们对应到现实，说的是1个人，两个人，3个人……而不会说0.3个人。
因为0.3不属于自然数（不符合其定义，不在这个划分中！）
我们讲人的数量时，必然是不会出现3.1415926个人这种奇怪的描述的（实数π）。
这就是范围和定义的重要性的一个小例子……就像程序中不同类型的数据有int和float等等的区别，错了是不对头的，会导致错误的发生。
[!attention]规定与定义的颠倒
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在数学上，“定义”更多是被动的。
即先有了现象，然后定义这种现象背后抽象出来的数的关系。
即，并非数学家们不近人情的像法律一样颁布了“规定”。
而是现实中已经存在的现象和数的关系，数学家识别并将其“定义”下来命名，方便使用避免混淆。
如前面所说的1个人，两个人……这种非常自然的数的关系，由此定义出自然数。
后来发现人虽然是整个的，但物不一定是整个的，比如半个苹果，1个苹果均分3份……由此又有了1/2,1/3……
2个苹果要分给5个人，还差3个：即-3……
然后在更深入的现象中又发现了e，π，根号2等等这些现实中很少见，但存在的东西……需要给它们一个位置，继而ℕ自然数 ⊂ ℤ整数 ⊂ ℚ有理数 ⊂ ℝ实数……不断扩充数系，而在数系之外，数学也是通过这样不断的发现和定义……找出了越来越抽象的规律。
[!example]它们在知识上可能离我们很远，以至于我们没法轻易理解。
但在生活中都离我们很近……
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再比如现在ai的诞生，就是基于线性代数，微积分等学科，而每一个数学分支都依赖于最基础的底层定义一层一层往上扩展……
网友解答：--【壹】--：
有时候定义本身是很复杂的……
实数的定义是什么？要严格定义实数必需引入极限的概念，具体地用柯西序列、戴德金分割等方法构造实数……
--【贰】--：
有些东西学的时候知识不是很完备，而且也用不上明显的定义，比如说函数w：
开始时都会这么教： f(x)=x^3 （规定）； 而不是说 才开始学习函数的时候就教 f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^3 （定义）就教这种写法的吧w
前面的规定遇到不严谨的情况了，被迫使用那个定义啦～w
--【叁】--：
赞同。推荐阅读一本类似理念的好书：《烧掉数学书：重新发明数学》
--【肆】--：
只是我学习数学的一点小笔记，佬言重了，学数学还得是看各种老师的课……
--【伍】--：
ai没抓到重点。定义本质是对一个在公理体系下（公理体系就可以理解为我们讨论的范畴，公理是我们必须接受的最根本假设）已经存在的数学对象命名字的过程，这个对象一直都在你定不定义都在。但是定义给了他一个联系生活直觉的作用。也就是定义必须符合直觉且合理。这部分的例子就是陈纪修数分里面曲线弧长的定义。弧长被定义为折线段无限细分后的折线长度和的极限。这个地方以直代曲是没法证明的，因为他是定义是直接起名字了，只能探究他的合理性和是否符合直觉直观。很明显人类一直都是以直代曲计算曲线长度，因此这个定义没问题。这就是定义的真实含义
--【陆】--：
哪个方便就用哪个啦www，反正提前接触发现需要的知识基本没听说过
--【柒】--：
是的，再深入就得定义柯西序列，定义完备性，定义紧密性……
所以标题我用了个定义，定义，还是定义！
--【捌】--：
毕业了在L站狠狠地学数学
--【玖】--：
哇哦，我在L站学 数学
还是第一次看到这个标签呢
--【拾】--：
数学是我喜欢的
--【拾壹】--：
主要是现在数学对定义的要求很高。其实真正学习的时候，对于大多数人而言，还是传统方式更易理解。就比如实数，不可能跟大部分中学生讲原来的有理数域不完备，所以要通过极限运算扩充到实数域，又因为实数在代数上不封闭，所以要引入复数。那真是要吃天赋了
--【拾贰】--：
就是不同的数学公理能推出不同的数学结论，没那么难理解
--【拾叁】--：
我也是看到另一个佬用我才知道有的
--【拾肆】--：
太强了，佬！我长脑子了
--【拾伍】--：
头好痒，感觉，要睡着了
--【拾陆】--：
哈哈哈，听课的时候听到老师说规定规定，觉得太死板了有此吐槽~
很多东西确实很难说清楚。中小学里也是的，尤其在以前……
但是我还是觉得现在这个时代是可以讲清楚的，毕竟都专门做老师了。
所以对于以后的教学，我认为起码是给学有余力的同学留下探究的引子
[!tips]教学的弊病
在我们中小学，乃至大学刚开始学高等数学的时候。
经常回听到一个很困惑的词叫“规定”，比如“书上说了，规定如此”，老师对此的解释也是“记住就行，规定就这样。就是这么规定的……”
真是太不利于学习了！
这种旧时代的学习方法已经不适合这个时代了，以前为什么经常会这样回答呢？
因为前面时代的学习，名师是很少的，大部分老师都是普通水平（高的都去搞别的赚钱的或更高级的了……大部分的师范生水平都是中等人才，高端水平舍弃其他可能性做老师的是极少的个例）
由此对于很多问题的根源，连老师都不懂，也自能照本宣科，以“规定如此”来搪塞学生。
但是，我们这个时代，因为ai的出现，基本都自带名师！
再用“规定”搪塞学生的求知欲是很不负责的！
即使老师再偷懒，也可以说一句：感兴趣的同学可以自行ai寻求答案！
（当然不偷懒的做法，是自行找到答案，以通俗的方式解释给所有学生知道这个“规定”的由来。）
[!important]那么“规定”到底是些什么意思呢？
其实应该叫“定义”。
也就是数学上的定义，分类或说概念范畴。
就像我们定义了圆的红的甜的叫红苹果，定义了电脑用的字母数字输入设备叫键盘一样，就是定义：【把某一种/某一类东西称为xx】
数学上把某一类的数称为 自然数（ℕ）{1, 2, 3, …} 。
把另一类的数称为 整数（ℤ） ：{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}。
就是定义，也就是俗称的“规定”。
在往前的学习中，因前面所说的问题，老师总把定义和规定混淆使用。
而“规定如此”，更有种不近人情的强权感，我个人认为是把数学定义贬义化了的，导致很多同学在学习的时候甚至会产生逆反心理：你规定？那我不鸟你的规定……
继而导致了放弃数学，甚至是厌恶数学的情绪。（庸师误人子弟啊……）
[!abstract]那么定义的作用是什么呢？为什么数学上需要这么多的定义？
是为了划分，继而是需要“清晰”。
而我们学习各种数学的定义，就是为了清晰的区分出各种不同的抽象性质（乃至在具体的应用中也能找出其根本区别）。
红苹果和青苹果都属于苹果，但具体而言它们是有细微差别的。
而再细分还有黄苹果和深红近黑的苹果……
要划分，就需要良好的定义，不然就会导致混淆。
日常生活中很多东西模糊点没有太大的影响……
但数学是一门精确的学科，是我们所有科技乃至整个文明的基础。
所以数学尤其需要精确的定义和良好的定义……容不得模糊和混淆。
[!success]以数集为例，简单的直观定义如下：
| 数集 | 符号 | 包含关系 | 特点 |
|---|---|---|---|
| 自然数 | ℕ | 最小 | 1, 2, 3, …（或 0, 1, 2, …） |
| 整数 | ℤ | ℕ ⊂ ℤ | …, -2, -1, 0, 1, 2, … |
| 有理数 | ℚ | ℤ ⊂ ℚ | 分数、有限小数、循环小数 |
| 实数 | ℝ | ℚ ⊂ ℝ | 包含所有有理数 + 无理数（如 √2, π） |
| 超实数 | *ℝ | ℝ ⊂ *ℝ | 包含实数 + 无限大/无限小（非标准分析） |
| 复数 | ℂ | ℝ ⊂ ℂ | 实数 + 虚数（如 1 + i） |
（其中 ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ 是最核心的数集包含关系）
这些是最基础的，我们学习的数学基本都由此开始。
是最基础的抽象，而这种抽象映照回到现实，比如我们说人的时候，就会自然的用到自然数的定义。
自然数是1,2,3,4……
我们对应到现实，说的是1个人，两个人，3个人……而不会说0.3个人。
因为0.3不属于自然数（不符合其定义，不在这个划分中！）
我们讲人的数量时，必然是不会出现3.1415926个人这种奇怪的描述的（实数π）。
这就是范围和定义的重要性的一个小例子……就像程序中不同类型的数据有int和float等等的区别，错了是不对头的，会导致错误的发生。
[!attention]规定与定义的颠倒
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在数学上，“定义”更多是被动的。
即先有了现象，然后定义这种现象背后抽象出来的数的关系。
即，并非数学家们不近人情的像法律一样颁布了“规定”。
而是现实中已经存在的现象和数的关系，数学家识别并将其“定义”下来命名，方便使用避免混淆。
如前面所说的1个人，两个人……这种非常自然的数的关系，由此定义出自然数。
后来发现人虽然是整个的，但物不一定是整个的，比如半个苹果，1个苹果均分3份……由此又有了1/2,1/3……
2个苹果要分给5个人，还差3个：即-3……
然后在更深入的现象中又发现了e，π，根号2等等这些现实中很少见，但存在的东西……需要给它们一个位置，继而ℕ自然数 ⊂ ℤ整数 ⊂ ℚ有理数 ⊂ ℝ实数……不断扩充数系，而在数系之外，数学也是通过这样不断的发现和定义……找出了越来越抽象的规律。
[!example]它们在知识上可能离我们很远，以至于我们没法轻易理解。
但在生活中都离我们很近……
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再比如现在ai的诞生，就是基于线性代数，微积分等学科，而每一个数学分支都依赖于最基础的底层定义一层一层往上扩展……
网友解答：--【壹】--：
有时候定义本身是很复杂的……
实数的定义是什么？要严格定义实数必需引入极限的概念，具体地用柯西序列、戴德金分割等方法构造实数……
--【贰】--：
有些东西学的时候知识不是很完备，而且也用不上明显的定义，比如说函数w：
开始时都会这么教： f(x)=x^3 （规定）； 而不是说 才开始学习函数的时候就教 f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^3 （定义）就教这种写法的吧w
前面的规定遇到不严谨的情况了，被迫使用那个定义啦～w
--【叁】--：
赞同。推荐阅读一本类似理念的好书：《烧掉数学书：重新发明数学》
--【肆】--：
只是我学习数学的一点小笔记，佬言重了，学数学还得是看各种老师的课……
--【伍】--：
ai没抓到重点。定义本质是对一个在公理体系下（公理体系就可以理解为我们讨论的范畴，公理是我们必须接受的最根本假设）已经存在的数学对象命名字的过程，这个对象一直都在你定不定义都在。但是定义给了他一个联系生活直觉的作用。也就是定义必须符合直觉且合理。这部分的例子就是陈纪修数分里面曲线弧长的定义。弧长被定义为折线段无限细分后的折线长度和的极限。这个地方以直代曲是没法证明的，因为他是定义是直接起名字了，只能探究他的合理性和是否符合直觉直观。很明显人类一直都是以直代曲计算曲线长度，因此这个定义没问题。这就是定义的真实含义
--【陆】--：
哪个方便就用哪个啦www，反正提前接触发现需要的知识基本没听说过
--【柒】--：
是的，再深入就得定义柯西序列，定义完备性，定义紧密性……
所以标题我用了个定义，定义，还是定义！
--【捌】--：
毕业了在L站狠狠地学数学
--【玖】--：
哇哦，我在L站学 数学
还是第一次看到这个标签呢
--【拾】--：
数学是我喜欢的
--【拾壹】--：
主要是现在数学对定义的要求很高。其实真正学习的时候，对于大多数人而言，还是传统方式更易理解。就比如实数，不可能跟大部分中学生讲原来的有理数域不完备，所以要通过极限运算扩充到实数域，又因为实数在代数上不封闭，所以要引入复数。那真是要吃天赋了
--【拾贰】--：
就是不同的数学公理能推出不同的数学结论，没那么难理解
--【拾叁】--：
我也是看到另一个佬用我才知道有的
--【拾肆】--：
太强了，佬！我长脑子了
--【拾伍】--：
头好痒，感觉，要睡着了
--【拾陆】--：
哈哈哈，听课的时候听到老师说规定规定，觉得太死板了有此吐槽~
很多东西确实很难说清楚。中小学里也是的，尤其在以前……
但是我还是觉得现在这个时代是可以讲清楚的，毕竟都专门做老师了。
所以对于以后的教学，我认为起码是给学有余力的同学留下探究的引子