Putnam竞赛题目与中科大自主招生试题间有何内在联系？
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题目：对于任意正整数n，令\( \text{denote} \)为\( \sqrt{n} \)最接近的整数，求和\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 2^{-n}}{2^n} \)。
解：因为\( \left(k - \frac{1}{2}\right)^2=k^2 - k + \frac{1}{4} \)且\( \left(k + \frac{1}{2}\right)^2=k^2 + k + \frac{1}{4} \)，所以\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 2^{-n}}{2^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{1}{2^{2n}}\right) \)。这是一个几何级数，其和为\( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots=\frac{1}{1 - \frac{1}{4}}=\frac{4}{3} \)。
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题目：对于任意正整数n，令\( \text{denote} \)为\( \sqrt{n} \)最接近的整数，求和\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 2^{-n}}{2^n} \)。
解：因为\( \left(k - \frac{1}{2}\right)^2=k^2 - k + \frac{1}{4} \)且\( \left(k + \frac{1}{2}\right)^2=k^2 + k + \frac{1}{4} \)，所以\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 2^{-n}}{2^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{1}{2^{2n}}\right) \)。这是一个几何级数，其和为\( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots=\frac{1}{1 - \frac{1}{4}}=\frac{4}{3} \)。