分子动力学模拟中SETTLE约束算法是如何实现的？

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继上一篇文章介绍了分子动力学模拟中常用的LINCS约束算法之后，本文将介绍一种SETTLE约束算法，并探讨其基于Jax的实现方案。

SETTLE约束算法是一种针对分子动力学模拟中原子间距离约束的算法。相较于LINCS算法，SETTLE算法在处理键角和键长约束时更为高效，尤其适用于键角变化较大的系统。本文将详细阐述SETTLE算法的原理，并展示其基于Jax的编程实现。

继上一篇文章介绍了分子动力学模拟中常用的LINCS约束算法之后，本文再介绍一种SETTLE约束算法，及其基于Jax的实现方案。LINCS约束算法相对来说比较通用，更适合于成键关系比较复杂的通用的体系，而SETTLE算法更加适用于三原子轴对称体系，比如水分子。SETTLE算法结合velocity-verlet算法，可以确保一个分子只进行整体的旋转运动，互相之间的距离又保持不变。比较关键的是，SETTLE算法所依赖的参数较少，也不需要微分，因此在性能上十分有优势。 技术背景

在上一篇文章中，我们讨论了在分子动力学里面使用LINCS约束算法及其在具备自动微分能力的Jax框架下的代码实现。约束算法，在分子动力学模拟的过程中时常会使用到，用于固定一些既定的成键关系。例如LINCS算法一般用于固定分子体系中的键长关系，而本文将要提到的SETTLE算法，常用于固定一个构成三角形的体系，最常见的就是水分子体系。对于一个水分子而言，O-H键的键长在模拟的过程中可以固定，H-H的长度，或者我们更常见的作为一个H-O-H的夹角出现的参量，也需要固定。纯粹从计算量来考虑的话，RATTLE约束算法需要迭代计算，LINCS算法需要求矩阵逆（虽然已经给出了截断优化的算法），而SETTLE只涉及到坐标变换，显然SETTLE在约束大规模的水盒子时，性能会更加优秀。

算法流程

类似于LINCS算法的，我们先引入一个核心的约束条件：

\[\left|r_{ij}\right|^2-d_{ij}^2=0 \]

意思就是说，原子i和原子j之间的距离在分子动力学模拟的迭代过程中保持不变。\(d_{ij}\)可以是初始值，也可以是一个给定值。