如何运用欧拉定理解决luogu 5091题中的数论问题？
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裸题：扩展欧拉定理的应用
1. 欧拉定理简介欧拉定理是数论中的一个重要定理，它建立了整数幂模n同余的基本性质。具体来说，对于任意正整数a和与n互质的正整数m，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，其中φ(n)是欧拉函数，表示小于n的正整数中与n互质的数的个数。
2. 扩展欧拉定理扩展欧拉定理是欧拉定理的推广，它不仅包含了欧拉定理的内容，还提供了求解同余方程ax ≡ b (mod n)的方法。具体来说，如果a和n互质，那么存在整数x和y，使得ax + ny=gcd(a, n)。这个定理在解决同余方程时非常有用。
3. 应用实例假设我们要计算3^100 mod 7。首先，计算φ(7)=6（因为7是质数，所以φ(7)=7 - 1）。根据欧拉定理，3^6 ≡ 1 (mod 7)。因此，3^100=(3^6)^16 * 3^4 ≡ 1^16 * 3^4 ≡ 3^4 ≡ 81 ≡ 4 (mod 7)。所以，3^100 mod 7=4。
裸题： 扩展欧拉定理的应用
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int ph(int x){ 4 int ret=x; 5 for(int i=2;i*i<=x;i++) 6 if(x%i==0){ 7 ret=ret/i*(i-1); 8 while (x%i==0) x/=i; 9 } 10 if(x>1) ret=ret/x*(x-1); 11 return ret; 12 } 13 int main(){ 14 int a,b=0,m,check=0; 15 scanf("%d%d",&a,&m); 16 int t=ph(m); 17 char c; 18 while ((c=getchar()) && !isdigit(c)); 19 while (isdigit(c)){ 20 b=b*10+(c^48); 21 while (b>=t) b-=t,check=1; 22 c=getchar(); 23 } 24 if(check) b=b+t; 25 int ans=1; 26 for(int i=0;i<=20;i++){ 27 if(b&(1<<i)) ans=1LL*ans*a%m; 28 a=1LL*a*a%m; 29 } 30 printf("%d\n",ans); 31 return 0; 32 } View Code
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裸题：扩展欧拉定理的应用
1. 欧拉定理简介欧拉定理是数论中的一个重要定理，它建立了整数幂模n同余的基本性质。具体来说，对于任意正整数a和与n互质的正整数m，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，其中φ(n)是欧拉函数，表示小于n的正整数中与n互质的数的个数。
2. 扩展欧拉定理扩展欧拉定理是欧拉定理的推广，它不仅包含了欧拉定理的内容，还提供了求解同余方程ax ≡ b (mod n)的方法。具体来说，如果a和n互质，那么存在整数x和y，使得ax + ny=gcd(a, n)。这个定理在解决同余方程时非常有用。
3. 应用实例假设我们要计算3^100 mod 7。首先，计算φ(7)=6（因为7是质数，所以φ(7)=7 - 1）。根据欧拉定理，3^6 ≡ 1 (mod 7)。因此，3^100=(3^6)^16 * 3^4 ≡ 1^16 * 3^4 ≡ 3^4 ≡ 81 ≡ 4 (mod 7)。所以，3^100 mod 7=4。
裸题： 扩展欧拉定理的应用
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int ph(int x){ 4 int ret=x; 5 for(int i=2;i*i<=x;i++) 6 if(x%i==0){ 7 ret=ret/i*(i-1); 8 while (x%i==0) x/=i; 9 } 10 if(x>1) ret=ret/x*(x-1); 11 return ret; 12 } 13 int main(){ 14 int a,b=0,m,check=0; 15 scanf("%d%d",&a,&m); 16 int t=ph(m); 17 char c; 18 while ((c=getchar()) && !isdigit(c)); 19 while (isdigit(c)){ 20 b=b*10+(c^48); 21 while (b>=t) b-=t,check=1; 22 c=getchar(); 23 } 24 if(check) b=b+t; 25 int ans=1; 26 for(int i=0;i<=20;i++){ 27 if(b&(1<<i)) ans=1LL*ans*a%m; 28 a=1LL*a*a%m; 29 } 30 printf("%d\n",ans); 31 return 0; 32 } View Code