数论再谈究竟有何独特之处，为何如此引人入胜？

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最大公约数 + 最小公倍数 + (a) + (b) + 最大公约数为 (gcd(a, b)) + 最小公倍数为 (lcm(a, b))。设 (a + b)。求最大公约数 (gcd(a, b)=gcd(b, a mod b))。证明：如果 (a, b)=(b, a mod b)。

最大公约数 和 最小公倍数

记 \(a\) 和 \(b\) 最大公约数为 \(\gcd(a, b)\), 记 \(a\) 和 \(b\) 最小公倍数数为 \(lcm(a, b)\)。
设 \(a > b\)。

求最大公约数

\(gcd(a, b) = gcd(b, a \mod b)\)。

证明

如果 \(a\) 是 \(b\) 的倍数， 那么 \(\gcd(a,b) = b\)，如果 \(b = 0\)， 那么 \(\gcd(a, b) = a\)。

下面讨论 \(a\) 不是 \(b\) 的倍数的情况。

设 \(a = bk + r\)，那么 \(a \mod b = r\)，就是要证明 \(\gcd(a, b) = \gcd(b, r)\)。

记 \(\gcd(a, b) = x\)， 于是就有 \(a | x\)， \(b | x\)。

把上面的式子变一下，就是 \(r = a - bk\)，同时除以一个 \(x\)，于是 \(\frac{r}{x} = \frac{a}{x} - \frac{bk}{x}\)。