一个正奇边形能分割成多少个不同类型的多边形？

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正奇边形可以被分割成多个小正奇边形。2022牛客五一集训派对day1G题conting regions 题目链接：登录——专属于IT笔试面试备考平台_牛客网 本题需要找到一个正奇边形，它可以被分割成多个小正奇边形。

正奇边形可以被分割成多少个多边形 牛客2022牛客五一集训派对day1G题conting regions ​

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本题需要求一个正奇边形可以被划分成多少个区域。

一、欧拉示性数公式：

V(n) + F(n) - E(n) = 2

V(n) -----> n边形的顶点数

F(n) -----> n边形的面数

E(n) -----> n边形的边数

定义C(n,m)为组合数在n个元素中取m个元素的方案数

把图转化成适用于欧拉示性数公式的图的形式：把所有交点当作顶点，把所有的边分割成小段。

二、V(n)求解：

显然，因为两条线段为n边形上的边并且是正奇边形，所以不可能存在平行的情况，即一定会相交于一点，而且交点一定是新产生的点（两条边增加一个顶点），不可能是先前存在的顶点。交点有以下两种情况：

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A类点和B类点，均为新增加的点。每个新增加的点需要四个点构成的两条直线相交得到，所以新增加的点的个数为C(n,4)（组合数），所以总的点数为：

V(n) = C(n,4) + n

三、E(n)求解：

考虑a条线交于b个点可以产生多少条小边？假设a-1条边互相平行，交于b个顶点，很容易得到新产生的边有2*b+a条，推广到一般情况发现都满足此关系，故而：

E(n) = C(n,2) + 2*C(n,4)

注：C(n,2)为变的个数，两个顶点确定一条边。

C(n,4)为交点的个数，不包含n边形的顶点。

四、到此V(n)和E(n)均求解完毕，由欧拉示性数公式有：

F(n) = E(n) - V(n) + 2

= C(n,2) + 2*C(n,4) - C(n,4) - n + 2

=C(n,2) + C(n,4) - n + 2

因为最后我们只求n边形内的图形区域数量，所以处于n边形外的区域即最终答案为F(n)-1

即：C(n,2) + C(n,4) - n + 1

代码：

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long const ll mod = 1e9 + 7; ll qpow(ll a, ll n)//快速幂a^n { ll ans = 1; ll base = a; while (n) { if (n & 1) { ans = ans * base % mod; } base = (base * base) % mod; n >>= 1; } return ans; } ll C(int n, int m)//组合数求解C(n,m) { ll ans = 1; for (int i = n; i >= n - m + 1; i--) { ans = (ans * i) % mod; } for (int i = 1; i <= m; ++i) { ans = (ans * qpow(i, mod - 2)) % mod;//逆元 } return ans; } int main() { ll n; scanf("%lld", &n); printf("%lld\n", (C(n, 4) + C(n, 2) - n + 1 + mod) % mod); return 0; }

参考：

正N边型的完全图被分割成几个多边形 - 知乎 (zhihu.com)

分圆问题，诡异的数列规律：解答篇_哔哩哔哩_bilibili（分圆问题）

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