AcWing 4. 多重背包问题如何解决长尾词优化？

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题目：有$N$种物品和一个容量是$V$的背包。第$i$种物品最多有$s_i$件，每件体积是$v_i$，价值是$w_i$。求解将哪些物品装入背包，使得物品总体积不超过背包容量，且价值总和最大。

题目

有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包。

第 $i$ 种物品最多有 $s_i$ 件，每件体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。 输出最大价值。

输入格式 第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积、价值和数量。

输出格式 输出一个整数，表示最大价值。

数据范围 $0<N,V≤100$ $0<v_i,w_i,s_i≤100$

输入样例

4 5 1 2 3 2 4 1 3 4 3 4 5 2

输出样例：

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思路

本题数据范围并不大，可以用朴素算法来实现。

状态表示 -- 集合 -- 属性 状态计算： 当遍历到物品i时，存在取0,1,...,s，共s种取法 0: f[i][j] = f[i - 1][j] 1: f[i][j] = f[i - 1][j - v] + w ... s: f[i][j] = f[i - 1][j - sv] + sw f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v] + w, ... , f[i - 1][j - sv] + sw) 这时朴素算法已现雏形。

代码

#include <iostream> using namespace std; const int N = 110; int f[N][N]; int main() { int n, m; cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) { int v, w, s; cin >> v >> w >> s; for (int j = 0; j <= m; j ++ ) for (int k = 0; k <= s; k ++ ) { f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]); if (j >= k * v) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v] + k * w); } } cout << f[n][m] << endl; return 0; }